Wyniki matur - analiza

Wyczekiwane przez wszystkich maturzystów odpowiedzi do próbnego arkusza maturalnego z matematyki już są! Znajdziecie je tylko na naszym portalu. Rozwiązania zostały skonsultowane z matematycznymi ekspertami. Sprawdźcie wyniki i oszacujcie swój stopień przygotowania do obowiązkowego egzaminu!

 

Numer zadania	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Odpowiedź	A	B	B	C	C	D	C	B	B	C	B	A	D	D	C	D	A	C	A	A

 

 

 

Przykładowe rozwiązania zadań otwartych

 

Zadanie 21. (2 pkt)

 

Rozwiąż nierówność .

 

ROZWIĄZANIE:
Obliczam pierwiastki trójmianu kwadratowego:
 

 

Podaję rozwiązanie nierówności: .

 

Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż równanie .

 

ROZWIĄZANIE:
Zapisuję równanie w postaci , a następnie przekształcam je do postaci:
Równanie ma trzy rozwiązania: , , .
 

 

 

 

Zadanie 23. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu .

ROZWIĄZANIE:
Zapisuję równanie w postaci .
Odczytuję środek okręgu: .
Równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych ma postać:. Prosta ma przechodzić również przez środek okręgu, czyli punkt .
Zatem równanie szukanej prostej ma postać: .

 

 

 

Zadanie 24. (2 pkt)
Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej w przedziale .

ROZWIĄZANIE:
Sprawdzam, czy pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli należy do przedziału : .
Obliczam wartość funkcji dla : .
Obliczam wartości funkcji na krańcach przedziału : , .

to najmniejsza wartość funkcji w przedziale , to największa wartość funkcji

w przedziale .

 

 

 

 

Zadanie 25. (2 pkt)
Wykaż, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz , to .

ROZWIĄZANIE:
Doprowadzam nierówność  do postaci nierówności kwadratowej z niewiadomą k :





Obliczam wyróżnik trójmianu kwadratowego:




Dla każdego n , stąd .

   lub  


Wtedy nierówność ma postać:



Dla każdego k i dla każdego n przy założeniu (), i .
Stąd dla każdego k i dla każdego n przy założeniu (), .

 

 

 

 

Zadanie 26. (2 pkt)
Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC.







ROZWIĄZANIE:
Zaznaczam wysokość  AF  trójkąta poprowadzoną z wierzchołka A











Otrzymuję:

Zatem pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC.





 
Zadanie 27. (2 pkt)
Kąt jest ostry i . Oblicz .

ROZWIĄZANIE:
Przekształcam wyrażenie :







Obliczam wartość wyrażenia: .

 

 

 

 

Zadanie 28. (2 pkt)

Sprawdź, czy czworokąt ABCD, gdzie , , , jest równoległobokiem. Odpowiedź uzasadnij.

ROZWIĄZANIE:
Obliczam długości odcinków AB i DC oraz odcinków AD i BC:






Czworokąt ABCD nie jest równoległobokiem, ponieważ .


 
Zadanie 29. (5 pkt)

Ciąg jest arytmetyczny i . Ciąg jest geometryczny. Oblicz a, b i c.

ROZWIĄZANIE:
Wykorzystuję własności ciągu arytmetycznego i zapisuję: i .
Wykorzystuję własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego i zapisuję układ równań wynikający z warunków zadania:



Podstawiam i .



Z pierwszego równania otrzymuję: .
Następnie przekształcam układ równań do równania z jedną niewiadomą r : .
Po kolejnych przekształceniach otrzymuję równanie postaci: .

Rozwiązując  równanie otrzymuję dwa rozwiązania: lub .

Zatem mamy dwie wartości liczby a: dla lub dla .

Stąd otrzymuję dwie trójki liczb, które spełniają warunki zadania:  lub .

 
Zadanie 30. (4 pkt)
Punkty i są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox.
 
ROZWIĄZANIE:
Współrzędne punktu C, leżącego na osi Ox zapisuję w postaci: .
Wyznaczam długość przyprostokątnych AC i BC oraz długość przeciwprostokątnej AB trójkąta ABC:




Stosuję twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC: i zapisuję równanie z jedną niewiadomą: .
Doprowadzam równanie do postaci .

Rozwiązuję równanie i otrzymuję lub .

Podaję współrzędne obu punktów C:   lub  .

 
Zadanie 31. (5 pkt)
Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy IA mieli zapłacić 1800 złotych. Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł więcej. Oblicz, ilu uczniów jest w klasie IA.

Wprowadzam oznaczenia:
x – planowana liczba uczniów,  
y – jednostkowy koszt wynajęcia autokaru przy liczbie uczniów równej x.
Zapisuję zależność między liczbą uczniów i jednostkowym kosztem wynajęcia autokaru: .
Zapisuję układ równań z niewiadomymi x oraz y:



Przekształcam układ równań do równania z jedną niewiadomą:



Po przekształceniach powyższe równanie przyjmuje postać:

Rozwiązuję równanie i otrzymuję dwa rozwiązania:   lub .
Odrzucam rozwiązanie , które nie spełnia warunków zadania.
Podaję odpowiedź: W klasie IA jest 24 uczniów.